Question

9．命题p：已知f（x）=x²+（m²-1）x+（m-2）的一个零点比1大，一个零点比1小．
命题q：$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1在x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）上恒成立．
若￢p为假命题，p∧q为真命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 若￢p为假命题，p∧q为真命题，则p，q同时为真命题，然后分别求出p，q为真命题的等价条件即可

解答 解：∵￢p为假命题，p∧q为真命题，
∴p为真，q为真，
命题p，设方程的两根分别为x₁，x₂，且x₁＜x₂，则（x₁-1）（x₂-1）＜0，x₁，•x₂-（x₁+x₂）+1＜0，
由根与系数的关系得：（m-2）+（m²-1）+1＜0，即-2＜m＜1，
命题q：$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1在x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）上恒成立，
当x=$\frac{3}{2}$时，函数y=≤-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1取得最小值-$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{5}{3}$，
解得m≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或m≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
综上所述-2＜m≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤m＜1．

点评 本题主要考查复合命题的应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系，以及函数恒成立的问题，和一元二次方程根的关系，属于中档题．