题目内容
【题目】某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了
名学生的成绩作为样本进行统计，该校全体学生的成绩均在
，按照
，
，
，
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图如图（1）所示，样本中分数在
内的所有数据的茎叶图如图（2）所示．根据上级统计划出预录分数线，有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表（3）．
分数 |
|
|
|
可能被录取院校层次 | 专科 | 本科 | 重本 |
图（3）
（1）求和频率分布直方图中的
，
的值；
（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取3人，求至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率；
（3）在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中为重本的人数，求随机变量
的分布列和数学期望．
【答案】（1）
，
，
；（2）
（3）分布列见解析，
【解析】
（1）结合茎叶图中分数在70~80的人数以及频率分布直方图中对应的频率，计算得到n，x，y的值；
（2）先利用古典概型计算从该校高三年级学生中任取1人为重本的概率，该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件服从二项分布，利用公式计算即得解；
（3）随机变量
服从超几何分布，利用超几何分布的概率公式计算即得解.
解：（1）由题意可知，样本容量
，
解得
，
．
（2）成绩能被重点大学录取的人数为
人，
抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是
，
故从该校高三年级学生中任取1人为重本的概率为
．
记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为
；
则
．
（3）成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数
人，故随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
所以，
；
；
；
；
故随机变量的分布列为
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
随机变量的数学期望
．
【题目】为了了解居民的家庭收入情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了100户家庭进行问卷调查.经调查发现，这些家庭的月收入在3000元到10000元之间，根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图：
（1）经统计发现，该社区居民的家庭月收入
（单位：百元）近似地服从正态分布
，其中
近似为样本平均数.若落在区间
的左侧，则可认为该家庭属“收入较低家庭”，社区将联系该家庭，咨询收入过低的原因，并采取相应措施为该家庭提供创收途径.若该社区
家庭月收入为4100元，试判断家庭是否属于“收入较低家庭”，并说明原因；
（2）将样本的频率视为总体的概率.
①从该社区所有家庭中随机抽取
户家庭，若这户家庭月收入均低于8000元的概率不小于50%，求的最大值；
②在①的条件下，某生活超市赞助了该社区的这次调查活动，并为这次参与调查的家庭制定了赠送购物卡的活动，赠送方式为：家庭月收入低于的获赠两次随机购物卡，家庭月收入不低于的获赠一次随机购物卡；每次赠送的购物卡金额及对应的概率分别为：
赠送购物卡金额（单位：元） | 100 | 200 | 300 |
概率 |
|
|
|
则家庭预期获得的购物卡金额为多少元？（结果保留整数）
【题目】追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：
AQI |
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空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 重度污染 |
天数 | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 10 |
（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为
，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为
.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.
（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；
（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.
