题目内容
【题目】在四棱锥中,
,
.
(Ⅰ)若点为
的中点,求证:
∥平面
;
(Ⅱ)当平面平面
时,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD和平面PDB的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.
(Ⅰ)取的中点为
,连结
,
.
由已知得,为等边三角形,
.
∵,
,
∴,
∴,∴
.
又∵平面
,
平面
,
∴∥平面
.
∵为
的中点,
为
的中点,∴
∥
.
又∵平面
,
平面
,
∴∥平面
.
∵,∴平面
∥平面
.
∵平面
,∴
∥平面
.
(Ⅱ)连结,交
于点
,连结
,由对称性知,
为
的中点,且
,
.
∵平面平面
,
,
∴平面
,
,
.
以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,建立空间直角坐标系
.
则(0,
,0),
(3,0,0),
(0,0,1).
易知平面的一个法向量为
.
设平面的法向量为
,
则,
,∴
,
∵,
,∴
.
令,得
,∴
,
∴.
设二面角的大小为
,则
.

练习册系列答案
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【题目】为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在55名男性驾驶员中,平均车速超过的有40人,不超过
的有15人;在45名女性驾驶员中,平均车速超过
的有20人,不超过
的有25人.
(1)完成下面的列联表,并判断是否有%的把握认为平均车速超过
的人与性别有关.
平均车速超过 | 平均车速不超过 | 合计 | |
男性驾驶员人数 | |||
女性驾驶员人数 | |||
合计 |
(2)以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列和数学期望.
参考公式与数据:
,其中
.