Question

【题目】为了了解居民的家庭收入情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了100户家庭进行问卷调查.经调查发现，这些家庭的月收入在3000元到10000元之间，根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图：

（1）经统计发现，该社区居民的家庭月收入（单位：百元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数.若落在区间的左侧，则可认为该家庭属“收入较低家庭”，社区将联系该家庭，咨询收入过低的原因，并采取相应措施为该家庭提供创收途径.若该社区家庭月收入为4100元，试判断家庭是否属于“收入较低家庭”，并说明原因；

（2）将样本的频率视为总体的概率.

①从该社区所有家庭中随机抽取户家庭，若这户家庭月收入均低于8000元的概率不小于50%，求的最大值；

②在①的条件下，某生活超市赞助了该社区的这次调查活动，并为这次参与调查的家庭制定了赠送购物卡的活动，赠送方式为：家庭月收入低于的获赠两次随机购物卡，家庭月收入不低于的获赠一次随机购物卡；每次赠送的购物卡金额及对应的概率分别为：

赠送购物卡金额（单位：元）	100	200	300
概率

则家庭预期获得的购物卡金额为多少元？（结果保留整数）

Answer 1

【答案】（1）家庭不属于“收入较低家庭”，详见解析（2）①②元

【解析】

（1）根据频率分布直方图，计算该社区居民的家庭月收入平均值，计算，比较可得；

（2）①用样本的频率视为总体的概率，计算出月收入低于8000元的概率，根据相互独立事件的概率公式得到不等式，解得即可；②由（1）可知该家庭可获赠两次随机购物卡，设所获得的购物卡金额为随机变量，则的取值分别为200，300，400，500，600，分别计算出概率，求出期望即可；

解：（1）该社区居民的家庭月收入平均值为：

（百元）

又因为该社区居民的家庭月收入（单位：百元）近似地服从正态分布

所以，故

该社区家庭月收入为4100元百元，故家庭不属于“收入较低家庭”.

（2）①将样本的频率视为总体的概率，由频率分布直方图可知，抽取一户家庭其月收入低于8000元的概率为

随机抽取户家庭月收入均低于8000元的概率为，由题意知，解得

②由（1）知百元元，故家庭月收入低于，可获赠两次随机购物卡，设所获得的购物卡金额为随机变量，则的取值分别为200，300，400，500，600

，

，

则家庭预期获得的购物卡金额为元.