题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求曲线
在
处的切线方程;
(Ⅱ)求函数在
上的最小值;
(Ⅲ)若函数,当
时,
的最大值为
,求证:
.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题,
所以故
,
,代入点斜式可得曲线
在
处的切线方程;
(Ⅱ)由题
(1)当时,
在
上单调递增. 则函数
在
上的最小值是
(2)当时,令
,即
,令
,即
(i)当,即
时,
在
上单调递增,
所以在
上的最小值是
(ii)当,即
时,由
的单调性可得
在
上的最小值是
(iii)当,即
时,
在
上单调递减,
在
上的最小值是
(Ⅲ)当
时,
令,则
是单调递减函数.
因为,
,
所以在上存在
,使得
,即
讨论可得在
上单调递增,在
上单调递减.
所以当时,
取得最大值是
因为,所以
由此可证
试题解析:(Ⅰ)因为函数,且
,
所以,
所以
所以,
所以曲线在处的切线方程是
,即
(Ⅱ)因为函数,所以
(1)当时,
,所以
在
上单调递增.
所以函数在
上的最小值是
(2)当时,令
,即
,所以
令,即
,所以
(i)当,即
时,
在
上单调递增,
所以在
上的最小值是
(ii)当,即
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以在
上的最小值是
(iii)当,即
时,
在
上单调递减,
所以在
上的最小值是
综上所述,当时,
在
上的最小值是
当时,
在
上的最小值是
当时,
在
上的最小值是
(Ⅲ)因为函数,所以
所以当时,
令,所以
是单调递减函数.
因为,
,
所以在上存在
,使得
,即
所以当时,
;当
时,
即当时,
;当
时,
所以在
上单调递增,在
上单调递减.
所以当时,
取得最大值是
因为,所以
因为,所以
所以

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