Question

14．已知A（2，1），B（1，-1）两点在直线t：x-y+1=0的同侧，P点为t上的一动点，求|PA|+|PB|的最小值，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 利用垂直、和中点在对称轴上这两个条件求得设B（1，-1）关于直线t：x-y+1=0的对称点M的坐标，则|AM|为|PA|+|PB|的最小值；再把直线t和直线AM的方程联立方程组，求得此时点P的坐标．

解答 解：设B（1，-1）关于直线t：x-y+1=0的对称点为M（a，b），则由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+1}{a-1}•1=-1}\\{\frac{a+1}{2}-\frac{b-1}{2}+1=0}\end{array}\right.$，
求得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，故点M（-2，2）．
|PA|+|PB|=|PA|+|PM|≥|AM|=$\sqrt{{（-2-2）}^{2}{+（2-1）}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
当且仅当P是直线AM和直线t：x-y+1=0的交点时，取等号．
即|PA|+|PB|的最小值为$\sqrt{17}$，由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{\frac{y-1}{2-1}=\frac{x-2}{-2-2}}\end{array}\right.$ 求得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，可得此时点P的坐标（-$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$）．

点评 本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，求两条直线的交点，属于基础题．