Question

19．已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，直线l与C相切于Q点，P是l上一点（不与Q重合），若以线段PQ为直径的圆恰好经过F，则|PF|的最小值是4．

Answer 1

分析 先证明点P在抛物线的准线x=-2上，因此，原问题转化为：准线上的动点P引抛物线的切线于Q，求切线PQ长的最小值，显然当P位于（-2，0）时，切线最短，即|PQ|_min=$\sqrt{2}$p=4$\sqrt{2}$．从而可得|PF|的最小值．

解答 解：设Q（a，2$\sqrt{2a}$），则k_QF=$\frac{2\sqrt{2a}}{a-2}$，∴PF的方程为y=$\frac{2-a}{2\sqrt{2a}}$（x-2）①
∵y²=8x，∴取y=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{x}$，∴y′=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$，
∴直线l的方程为y-2$\sqrt{2a}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}}$（x-a）②
①②联立，可得点P在抛物线的准线x=-2上，
因此，原问题转化为：准线上的动点P引抛物线的切线于Q，求切线PQ长的最小值，
显然当P位于（-2，0）时，切线最短，即|PQ|_min=$\sqrt{2}$p=4$\sqrt{2}$．
此时，a=2，Q（2，4），∴|QF|=4，
∴|PF|的最小值是p=4．
故答案为：4．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，确定点P在抛物线的准线x=-2上是关键．