题目内容
9．已知O为△ABC的外心，满足$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，则△ABC的最大内角的余弦值为（ ）| A． | $-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$ | B． | $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$ | C． | $-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$ | D． | $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$ |
分析 设三角形ABC的外接圆半径为R，将已知的等式变形后，左右两边平方，分别求出cos∠AOB=0，cos∠BOC=-$\frac{4}{5}$，cos∠AOC=-$\frac{3}{5}$，再根据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍，以及二倍角公式计算即可．
解答 解：设外接圆的半径为R，
∵$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，
∴3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$=-5$\overrightarrow{OC}$，
∴（3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$）2=（-5$\overrightarrow{OC}$）2，
∴9（$\overrightarrow{OA}$）2+16（$\overrightarrow{OB}$）2+12$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=25（$\overrightarrow{OC}$）2，
∴9R2+16R2+12$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=25R2，
∴9R2+16R2+12R2cos∠AOB=25R2，
∴cos∠AOB=0，
同理，求得cos∠BOC=-$\frac{4}{5}$，cos∠AOC=-$\frac{3}{5}$，
∴△ABC的最大内角∠BAC，
根据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍得，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴2cos2（∠BAC）-1=cos∠BOC，
∴2cos2（∠BAC）=1-$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$
∴cos2（∠BAC）=$\frac{1}{10}$，
∴cos∠BAC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
故答案为：B．
点评 本小题主要考查三角形外心的应用、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．
| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |