Question

10．如图，设A是棱长为2的正方体的一个顶点，过从顶点A出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，截去8个三棱锥，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：
①有24个顶点；②有36条棱；③有14个面；④表面积为12；⑤体积为$\frac{20}{3}$．
正确的有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 原来的六个面还在只不过是变成了一个小正方形，再添了八个顶点各对应的一个三角形的面，由此能求出面的个数；每个正方形4条边，每个三角形3条边，考虑到每条边对应两个面，由此能求出棱的条数；所有的顶点都出现在原来正方体的棱的中点位置，原来的棱的数目是12，所以现在的顶点的数目是12，由此能求出顶点数；三角形和四边形的边长都是$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，由此求出正方形总面积、三角形总面积，从而能求出表面积；体积为原正方形体积减去8个三棱锥体积，由此能求出剩余总体积．

解答 解：如图，原来的六个面还在只不过是变成了一个小正方形，
再添了八个顶点各对应的一个三角形的面，
所以总计6+8=14个面，故③正确；
每个正方形4条边，每个三角形3条边，4×6+3×8=48，
考虑到每条边对应两个面，所以实际只有$\frac{1}{2}×$48=24条棱．故②错误；
所有的顶点都出现在原来正方体的棱的中点位置，
原来的棱的数目是12，所以现在的顶点的数目是12．
或者从图片上可以看出每个顶点对应4条棱，每条棱很明显对应两个顶点，
所以顶点数是棱数的一半即12个．故①错误；
三角形和四边形的边长都是$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
所以正方形总面积为6×$\frac{1}{2}$a²=3a²，三角形总面积为8×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$a²sin60°=$\sqrt{3}$a²，
表面积（3+$\sqrt{3}$）a²，故④错；
体积为原正方形体积减去8个三棱锥体积，每个三棱锥体积为8×$\frac{1}{6}$（$\frac{a}{2}$）³=$\frac{1}{6}$a³，剩余总体积为a³-$\frac{1}{6}$a³=$\frac{5}{6}$a³．⑤正确．
故选：B．

点评 本题考查多面体的顶点个数、棱的条数、面的个数、表面积和体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．