Question

19．设数列{a_n}的前n和为S_n，满足S_n=a_n+1+n²-3，n∈N^*，且S₃=15．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 （1）由S_n=a_n+1+n²-3，n∈N^*，结合S₃=15，可得a₃，进一步求得a₂和a₁的值；
（2）由（1）猜测归纳出a_n=2n+1，然后直接利用数学归纳法证明．

解答 解：（1）∵S₃=S₂+a₃=（a₃+1）+a₃=2a₃+1，
又S₃=15，∴a₃=7，
∵S₂=a₃+1=8，
又S₂=S₁+a₂=（a₂-2）+a₂=2a₂-2，
∴a₂=5，a₁=S₁=a₂-2=3，
综上知a₁=3，a₂=5，a₃=7；
（2）由（1）猜想a_n=2n+1，
下面用数学归纳法证明．
①当n=1时，a₁=3，2×1+1=3结论成立；
②假设当n=k（k≥1）时，结论成立，即a_k=2k+1，
则${S_k}=3+5+7+…+（2k+1）=\frac{3+（2k+1）}{2}×k=k（k+2）$，
又${S_k}={a_{k+1}}+{k^2}-3$，∴$k（k+2）={a_{k+1}}+{k^2}-3$，解得a_k+1=2k+3，
∴a_k+1=2（k+1）+1，即当n=k+1时，结论成立；
综①②所述，对任意n∈N^*，a_n=2n+1．

点评 本题考查数列递推式，考查了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，属中档题．