Question

20．如图所示，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．
求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）PA⊥AB．

Answer 1

分析 （1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；
（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可，再由DE∥PA，能证明PA⊥AB．

解答 证明：（1）证明：∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，
又∵PA?平面DEF，DE?平面DEF，
∴PA∥平面DEF．
（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=$\frac{1}{2}$PA=3，
又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴DE²+EF²=DF²，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF，
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC，
∵DE∥PA，∴PA⊥平面ABC，
∵AB?平面ABC，∴PA⊥AB．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是中档题．