Question

1．已知数列{a_n}的通项公式是a_n=n²+kn+4
（1）若k=-5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a_n有最小值．并求出最小值，
（2）对于n∈N^*，都有a_n+1＞a_n，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将k=-5代入可知a_n=（n-1）（n-4），进而令a_n＜0可得负数项，通过配方可得最小值；
（2）通过a_n+1＞a_n化简得k＞-2n-1，进而可知k＞-2-1=-3．

解答 解：（1）若k=-5，则a_n=n²-5n+4=（n-1）（n-4），
令a_n＜0，则1＜n＜4，
∴数列中第2、3项共2项为负数，
∵f（x）=x²-5x+4是开口向上，对称轴x=$\frac{5}{2}$的抛物线，
∴当n=2或3时，a_n有最小值2²-5×2+4=-2；
（2）依题意，a_n+1＞a_n，即（n+1）²+k（n+1）+4＞n²+kn+4，
整理得：k＞-2n-1，
又∵对于n∈N^*，都有a_n+1＞a_n，
∴k大于-2n-1的最大值，
∴k＞-2-1=-3．

点评 本题考查数列的递推式，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．