题目内容
【题目】已知椭圆C: (a>b>0),长轴长为4,离心率为
.
(Ⅰ)椭圆的求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
【答案】(Ⅰ) +y2=1(Ⅱ)k∈(-2,-
)∪(
,2).
【解析】试题分析:(1)由题意可得,解得即可;
(2)直线的方程为
,设
.与椭圆方程联立,由
,解得
的取值范围.可得根与系数的关系.若
为锐角,则
,把根与系数的关系代入又得到
的取值范围,取其交集即可.
试题解析:(Ⅰ)依题意, ,解得
,
故椭圆C的方程为+y2=1.
(Ⅱ)如图,依题意,直线l的斜率必存在,
设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程组,消去y整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,
由韦达定理,x1+x2=,x1x2=
,
∴y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=+
+4=
,
因为直线l与椭圆C相交,则Δ>0,
即256k2-48(1+4k2)>0,
解得k<-或k>
,
当∠AOB为锐角时,向量,则x1x2+y1y2>0,
即+
>0,解得-2<k<2,
故当∠AOB为锐角时,k∈(-2,- )∪(
,2).
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目