题目内容
【题目】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，M是CC1中点．
(Ⅰ)求证：平面AB1M⊥平面A1ABB1；
(Ⅱ)过点C作一截面与平面AB1M平行，并说明理由．
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析
【解析】试题分析：(Ⅰ) 连结
交
于
，则
是
的中点，取
中点
，连结
，推导出四边形
是平行四边形，从而
，求出
，从而
平面
，由此能证明平面
平面
；(Ⅱ) 取
中点
中点
，连结
，则截面
是过点
与平面
平行的截面，先证明
，利用面面平行的判定定理能证明平面
平面
.
试题解析：(Ⅰ)证明：连接A1B交AB1于点P，
易知P是A1B的中点.
取AB中点D，连接CD，PD，MP.
因为M，D分别是CC1，AB的中点，
所以DP∥CM，且DP＝CM.
所以四边形MCDP是平行四边形.
所以CD∥MP.
又AC＝BC，所以CD⊥AB，
因为CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥CD，
又AA1∥CC1，∴CD⊥AA1，
所以CD⊥平面A1ABB1，所以MP⊥平面A1ABB1.
又因为MP平面AB1M，所以平面AB1M⊥平面A1ABB1，
(Ⅱ)解：取AB中点D，BB1中点N，连接CD，CN，DN，则截面CDN为所求，
由D，N分别是AB，BB1的中点知DN∥AB1，
又在矩形BCC1B1中，M是CC1中点，
∴B1N∥CM，B1N＝CM，∴四边形CMB1N是平行四边形，∴B1M∥CN，
∵CN，DN平面AB1M，B1M，AB1平面AB1M，
∴CN∥平面AB1M，DN∥平面AB1M，
∵CN∩DN＝N，CN，DN平面CDN，
∴平面CDN∥平面AB1M.
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