Question

【题目】如图，已知抛物线x2＝y，点，抛物线上的点，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值.

Answer 1

【答案】(1)(－1，1).(2) .

【解析】试题分析：

（1）通过点在抛物线上，可设，利用斜率公式结合可得结论；

（2）通过（1）值， ，设直线的斜率为，联立直线方程可知点坐标，进而可用 表示，计算，通过令，求导结合单调性可得结论.

试题解析：

(1)由题意得P(x，x2)，－＜x＜.

设直线AP的斜率为k，

故k＝＝x－∈(－1，1)，

故直线AP斜率的取值范围为(－1，1).

(2)由(1)知P，－＜x＜，

则直线AP的方程为：y＝kx＋k＋，

直线BQ的方程为：y＝－x＋＋，

联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ＝，

因为|PA|＝＝(k＋1)，

|PQ|＝(xQ－x)＝－，

所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3，

令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，则f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，

当k∈时，f′(k)＞0；当k∈时，f′(k)＜0，

所以f(k)在区间上单调递增，在区间上单调递减.

因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.