Question

【题目】已知椭圆E： 经过点，离心率为.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若A1，A2分别是椭圆E的左、右顶点，过点A2作直线l与x轴垂直，点P是椭圆E上的任意一点(不同于椭圆E的四个顶点)，连接PA1交直线l于点B，点Q为线段A2B的中点，求证：直线PQ与椭圆E只有一个公共点.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）利用椭圆的离心率公式，将代入椭圆的方程，即可求得的值，即可得到椭圆的标准方程；

（2）利用点斜式，求得直线的方程，求得的中点，利用中点公式求得的坐标，求得直线的斜率，直线的方程为，代入椭圆的方程，由，则直线与椭圆相切，即直线与椭圆的只有一个公共点.

试题解析：

(1)解　依题意得，

∴椭圆E的标准方程为＋＝1.

(2)证明　设P(x0，y0)(x0≠0且x0≠±)，

则直线PA1的方程为y＝(x＋)，

令x＝，得B，

则线段A2B的中点Q，∴直线PQ的斜率kPQ＝＝.①

∵P是椭圆E上的点，

∴x＝3，代入①式，得kPQ＝－，

∴直线PQ的方程为y－y0＝－(x－x0)，

与椭圆方程联立，得

又2x＋3y＝6，整理得x2－2x0x＋x＝0，

∵Δ＝0，∴直线PQ与椭圆E相切.

故直线PQ与椭圆E只有一个公共点.