Question

已知椭圆的左、右焦点分别是，离心率为．直线与轴，轴分别交于点是直线与椭圆的一个公共点，是点关于直线的对称点．设．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）若，的周长为，写出椭圆的方程；
（Ⅲ）确定的值，使得是等腰三角形．

Answer 1

（Ⅰ）证明过程见答案（Ⅱ）椭圆方程为．（Ⅲ）时，为等腰三角形．

（Ⅰ）因为分别是直线与轴，轴的交点，所以的坐标分别是，．由得这里．
所以点的坐标是．由得．
即解得．
（Ⅱ）当时，，所以．由的周长为，
得．所以．椭圆方程为．
（Ⅲ）因为，所以为钝角，要使为等腰三角形，必有，即．
设点到的距离为，由，
得．所以．于是．
即当时，为等腰三角形．