题目内容
【题目】已知函数,在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围;
(2)记两个极值点为,且,证明:.
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
(1)由导数与极值的关系知题目可转化为方程在有两个不同根,转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点,从而讨论求解;
(2) 问题等价于,令,则,所以,设,,根据函数的单调性即可证明结论.
解:(1)由题意知,函数的定义域为,
方程在有两个不同根;
即方程在有两个不同根;
转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点,如图.
可见,若令过原点且切于函数图象的直线斜率为,只须.
令切点,
故,又
故,解得,,
故,故的取值范围为
(2)由(1)可知分别是方程的两个根,
即, ,作差得,即
对于,取对数得,即
又因为,所以,得
令,则,,即
设, ,,所以函数在上单调递增,
所以,
即不等式成立,
故所证不等式成立.