题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,证明:
;
(2)若只有一个极值点,求
的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)将代入
,可得
等价于
,即
,令
,求出
,可得
的最小值,可得证;
(2)分,
三种情况讨论,分别对
求导,其中
又分①若
②
③
三种情况,利用函数的零点存在定理可得a的取值范围.
解:(1)当时,
等价于
,即
;
设函数,则
,
当时,
;当
时,
.
所以在
上单调递减,在
单调递增.
故为
的最小值,
而,故
,即
.
(2),
设函数
,则
;
(i)当时,
,
在
上单调递增,
又,取b满足
且
,则
,
故在
上有唯一一个零点
,
且当时,
,
时,
,
由于,所以
是
的唯一极值点;
(ii)当时,
在
上单调递增,无极值点;
(iii)当时,若
时,
;若
时,
.
所以在
上单调递减,在
单调递增.
故为
的最小值,
①若时,由于
,故
只有一个零点,所以
时
,
因此在
上单调递增,故
不存在极值;
②若时,由于
,即
,所以
,
因此在
上单调递增,故
不存在极值;
③若时,
,即
.
又,且
,
而由(1)知,所以
,
取c满足,则
故在
有唯一一个零点
,在
有唯一一个零点
;
且当时
,当
时,
,当
时,
由于,故
在
处取得极小值,在
处取得极大值,
即在
上有两个极值点.
综上,只有一个极值点时,
的取值范围是
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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