题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,已知
平面
,
,
,
.
(1) 求证:;
(2) 求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)直棱柱的关系先证明和
进而证明
平面
,从而得到
即可.
(2)建立以为坐标原点,以
,
,
所在的直线分别为
,
,
轴的空间直角坐标系,再求出
的向量与平面
的法向量求解即可.
解:(1)如图,连接,因为
平面
,
平面
,
平面
,所以
,
.
又,所以四边形
为正方形,所以
.
因为,所以
.又
平面
,
平面
,
,所以,
平面
因为平面
,所以
.
又平面
,
平面
,
,所以
平面
.
因为平面
,所以
(2)解法1:在中,
,
,
,所以
.
又平面
,
,所以三棱锥
的体积
易知,
,
,
所以
设点到平面
的距离为
,则三棱锥
的体积
,
由等体积法可知,则
,解得
.
设直线与平面
所成的角为
,则
,
故直线与平面
所成角的正弦值为
解法2:(2)由(1)知,,
,
两两垂直,以
为坐标原点,以
,
,
所在的直线分别为
,
,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为
,
.
所以,
,
,
,
所以,
,
设平面的法向量为
,则
,即
,
令,
,所以
为平面
的一个法向量,
则
设直线与平面
所成的角为
,则
,
故直线与平面
所成角的正弦值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知某芯片所获订单(亿件)与生产精度
(纳米)线性相关,该芯片的合格率
与生产精度
(纳米)也线性相关,并由下表中的5组数据得到,
与
满足线性回归方程为:
.
精度 | 16 | 14 | 10 | 7 | 3 |
订单 | 7 | 9 | 12 | 14.5 | 17.5 |
合格率 | 0.99 | 0.98 | 0.95 | 0.93 |
(1)求变量与
的线性回归方程
,并预测生产精度为1纳米时该芯片的订单(亿件);
(2)若某工厂生产该芯片的精度为3纳米时,每件产品的合格率为,且各件产品是否合格相互独立.该芯片生产后成盒包装,每盒100件,每一盒产品在交付用户之前要对产品做检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.现对一盒产品检验了10件,结果恰有一件不合格,已知每件产品的检验费用为
元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格产品支付200元的赔偿费用.若不对该盒余下的产品检验,这一盒产品的检验费用与赔偿费用的和记为
,以
为决策依据,判断是否该对这盒余下的所有产品作检验?
(参考公式:,
)
(参考数据:;
)
【题目】某家庭为了解冬季用电量(度)与气温
之间的关系,随机统计了某5天的用电量与当天气温,并制作了对照表,经过统计分析,发现气温在一定范围内时,用电量与气温具有线性相关关系:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 15 | 12 | 11 | 9 | 8 |
(1)求出用电量关于气温
的线性回归方程;
(2)在这5天中随机抽取两天,求至少有一天用电量低于10(度)的概率.
(附:回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式为,
)