题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为矩形,已知
平面
,
为
的中点,
,过点
作
于
,连接
,
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若直线与平面
所成角的正切值为
,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)证明平面
推出
,再证明
平面
推出
,然后证明
平面
从而由线面垂直推出面面垂直;(2)利用线面角的正切值求出AD,以
为坐标中心建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,代入公式
即可得解.
(1)证明:∵平面
,∴
,
又∵,
,
平面
,
平面
,
∴平面
,∴
,
又∵,∴
,
,∴
平面
,∴
,
又∵,∴
平面
,
又∵平面
,∴平面
平面
.
(2)∵平面
,∴
与平面
所成角为
,
∴,
假设,∴
,∴
,∴
,
以为坐标中心建立如图所示的空间直角坐标系
,
,
,
,
,
,
,
由(1)可知平面
,∴
为平面
的法向量,
又∵平面
,∴
为平面
的法向量,
∵,
,
∴.
∴平面与平面
所成角的余弦值为
.
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