Question

【题目】如图，四边形与均为菱形，设与相交于点，若，且.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析 (2)

【解析】

（1）证明平面平面，即证平面；（2）连接，，由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.利用向量法求直线与平面所成角的余弦值.

（1）∵四边形与四边形均为菱形，

∴，.

∵平面，平面，平面，平面，

∴平面，平面，

又，平面，平面，

∴平面平面，

又平面，

∴平面.

（2）连接，，∵四边形为菱形，且，

∴为等边三角形，

∵为中点，∴，

又∵为中点，且，∴，

又，∴平面.

由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，因为四边形为菱形，，

则，，，

∴，，，，，

，，，

设平面的一个法向量，

则，取，得，

设直线与平面所成角为，

则，

∴，

∴直线与平面所成角的余弦值为.