题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,将曲线
(
为参数)上任意一点
经过伸缩变换
后得到曲线
的图形.以坐标原点
为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
.
(1)求曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)点P为曲线上的任意一点,求点P到直线
的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标.
【答案】(1),
.(2)最大值
,此时点
.
【解析】
(1)根据伸缩坐标关系,可求参数方程,利用
消去参数
;由
,即可求直线
的直角坐标方程;
(2)点P用参数表示,根据点到直线的距离公式,求出P到直线的距离,再结合三角函数的有界性,即可求解.
(1),
消去参数,得
,
所以的普通方程为
;
直线,
直线的直角坐标方程
;
(2)设,
点到直线直线
的距离为
,
,
其中,
当时,
取得最大值为
,
此时,
点P的坐标为时,点P到直线
的距离的最大为
.
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