Question

13．若△ABC的内角A，B满足$\frac{sinB}{sinA}$=2cos（A+B），则当B取最大值时，角C大小为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 已知等式变形后，利用同角三角函数间基本关系化简，利用基本不等式求出tanB的最大值，进而求出B的最大值，即可求出C的度数．

解答 解：已知等式变形得：sinB=2sinAcos（A+B），
∴sinB=2sinAcosAcosB-2sin²AsinB，
∴tanB=$\frac{2sinAcosA}{1+2si{n}^{2}A}$=$\frac{2tanA}{1+3ta{n}^{2}A}$，
∵A与B为锐角，tanA＞0，
∴tanB=$\frac{2}{\frac{1}{tanA}+3tanA}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，当且仅当tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即A=$\frac{π}{6}$时取等号，
∴（tanB）_max=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即B的最大值为$\frac{π}{6}$，
则C=$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．