Question

1．已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$前n项和，若T_n＜λ²-$\frac{λ}{2}$对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=14}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}•（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，进而计算即得结论；
（2）通过裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，并项相加可知T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$，从而问题转化为解不等式λ²-$\frac{λ}{2}$≥$\frac{1}{2}$，计算即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₄=14、a₁，a₃，a₇成等比数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=14}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}•（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，
解得：d=1或d=0（舍），
∴a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1；
（2）∵a_n=n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}$•$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$，
∵T_n＜λ²-$\frac{λ}{2}$对任意n∈N^*恒成立，
∴λ²-$\frac{λ}{2}$大于等于T_n的最大值，即λ²-$\frac{λ}{2}$≥$\frac{1}{2}$，
∴（λ-1）（λ+$\frac{1}{2}$）≥0，
∴λ≥1或λ≤-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，掌握一元二次不等式的解法，注意解题方法的积累，属于中档题．