题目内容

8.已知$\overrightarrow{a}$=(2cosα,2sinα),$\overrightarrow{b}$=(cosβ,sinβ),0<α<β<2π.
(1)若$\overrightarrow{c}$=(1,1),且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$,求$\overrightarrow{a}$的值;
(2)若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1,cos(α+β)=$\frac{1}{3}$,求tanαtanβ的值;
(3)设$\overrightarrow{c}$=(2,0),若$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$,求α-β的值.

分析 (1)根据平面向量共线的坐标表示,列出方程求出α的值,即可得出向量$\overrightarrow{a}$;
(2)根据平面向量的数量积与三角恒等变换,列出方程组,求出tanαtanβ的值;
(3)根据平面向量的坐标运算,结合三角恒等变换与角的取值范围,求出α-β的值.

解答 解:(1)∵$\overrightarrow{a}$=(2cosα,2sinα),$\overrightarrow{b}$=(cosβ,sinβ),0<α<β<2π.
$\overrightarrow{c}$=(1,1),且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$,
∴2cosα•1-2sinα•1=0,
即sinα=cosα,
∴α=$\frac{π}{4}$或$\frac{5π}{4}$,
∴$\overrightarrow{a}$=($\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$)或$\overrightarrow{a}$=(-$\sqrt{2}$,-$\sqrt{2}$);
(2)∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1,cos(α+β)=$\frac{1}{3}$,
∴2cosαcosβ+2sinαsinβ=1,
即cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{1}{2}$①,
又cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{1}{3}$②,
由①②组成方程组,求出sinαsinβ=$\frac{1}{12}$,cosαcosβ=$\frac{5}{12}$,
∴tanαtanβ=$\frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}$=$\frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}}$=$\frac{1}{5}$;
(3)$\overrightarrow{c}$=(2,0),$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$,
$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=(2cosα+2cosβ,2sinα+2sinβ),
∴$\left\{\begin{array}{l}{2cosα+2cosβ=2}\\{2sinα+2sinβ=0}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{cosα+cosβ=1}\\{sinα+sinβ=0}\end{array}\right.$,
∴cos2α+sin2α=1-2cosβ+cos2β+sin2β=2-2cosβ=1,
解得cosβ=$\frac{1}{2}$,cosα=$\frac{1}{2}$;
又∵0<α<β<2π,
∴sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,sinβ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$;
∴α=$\frac{π}{3}$,β=$\frac{5π}{3}$,α-β=-$\frac{4π}{3}$.

点评 本题考查了平面向量的坐标运算问题,也考查了三角函数的恒等变换与求值运算问题,是综合性题目.

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