Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x-1，则函数g（x）=f（x）-k恰有三个零点，则实数k的取值范围是（-10，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 求导数，确定函数的单调性，可得函数的极大值、极小值，利用函数g（x）=f（x）-k恰有三个零点，即可求出实数k的取值范围

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x-1，∴f′（x）=x²-2x-3，
由f′（x）=x²-2x-3＞0，得：x＜-1或x＞3；f′（x）=x²-2x-3＜0，得：-1＜x＜3，
∴函数在x=-1处取得极大值，x=3处取得极小值，
∴f（-1）=$\frac{2}{3}$，f（3）=-10．
∵函数g（x）=f（x）-k恰有三个零点，
∴实数k的取值范围是（-10，$\frac{2}{3}$）．
故答案为：（-10，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，考查函数的极大值、极小值，属于中档题．