Question

17．已知函数f（x）=ax²-bx+1（a，b∈R）．
（1）若函数f（x）的值域为[$\frac{3}{4}$，+∞），且f（x+1）=f（-x），求函数f（x）的解析式；
（2）设b=a+1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]都有m≥|f（x）|恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的性质知定点纵坐标为$\frac{3}{4}$，再有条件f（x+1）=f（-x），得出a，b的值；
（2）对a进行分类讨论：当a=0时，f（x）=-x+1，m≥1；再对对称轴进行讨论，当$\frac{a+1}{2a}$＜2时，即a＞$\frac{1}{3}$；当$\frac{a+1}{2a}$≥2时，即a≤$\frac{1}{3}$，分别去求|f（x）|的最大值．

解答 解：（1）∵函数f（x）的值域为[$\frac{3}{4}$，+∞），
∴4a-b²=3a，
∵f（x+1）=f（-x），
∴（2a-b）x+a-b=bx，
∴a=b=1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）当b=a+1，
f（x）=ax²-（a+1）x+1，f（x）恒过点（0，1）；
当a=0时，f（x）=-x+1，
m≥|f（x）|恒成立，
∴m≥1；
0＜a≤1，开口向上，对称轴$\frac{a+1}{2a}$≥1，
f（x）=ax²-（a+1）x+1=a（x-$\frac{a+1}{2a}$）²+1-$\frac{（a+1）^{2}}{4a}$，
①当a=1时f（x）=x²-2x+1，|f（x）|在x∈[0，2]的值域为[0，1]；
要m≥|f（x）|，则m≥1；
②当0＜a＜1时，
根据对称轴分类：
当x=$\frac{a+1}{2a}$＜2，即$\frac{1}{3}＜a＜1$，
△=（a-1）²＞0，
f（$\frac{a+1}{2a}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$（$a+\frac{1}{a}$）∈（-$\frac{1}{3}$，0），又f（2）=2a-1＜1，所以|f（x）|≤1；
当x=$\frac{a+1}{2a}$≥2，即0$＜a≤\frac{1}{3}$；
f（x）在x∈[0，2]的最小值为f（2）=2a-1；
-1$＜2a-1≤-\frac{1}{3}$，所以|f（x）|≤1，
综上所述，要对任意x∈[0，2]都有m≥|f（x）|恒成立，有m≥1
∴m≥1．

点评 考查了二次函数的性质和对二次函数对称轴的分类讨论求闭区间的最值问题．