Question

18．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）过点A（$\sqrt{14}$，$\sqrt{5}$），且点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为$\frac{4}{3}$，求此双曲线方程．

Answer 1

分析 由题意，双曲线的渐近线的方程为bx±ay=0，利用点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为$\frac{4}{3}$，求出a，b的关系，再利用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）过点A（$\sqrt{14}$，$\sqrt{5}$），求出a，b，即可求此双曲线方程．

解答 解：由题意，双曲线的渐近线的方程为bx±ay=0，
∵点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{14{b}^{2}-5{a}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
∴a=$\sqrt{2}b$，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∵过点A（$\sqrt{14}$，$\sqrt{5}$），
∴$\frac{14}{2{b}^{2}}-\frac{5}{{b}^{2}}$=1，
∴b=$\sqrt{2}$，
∴a=2，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查双曲线的方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．