Question

13．△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且满足2asin（C+$\frac{π}{6}$）=b：
（1）求A的值：
（2）若b+2c=2，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\sqrt{3}$sinAsinC+sinAcosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，从而$\sqrt{3}$sinA=cosA，由此能求出角A．
（2）由b+2c=2，$sinA=\frac{1}{2}$，得a取最小值时，A=$\frac{π}{6}$，由此利用余弦定理能求出的最小值．

解答 解：（1）∵△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且满足2asin（C+$\frac{π}{6}$）=b，
∴2asinCcos$\frac{π}{6}$+2acosCsin$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}asinC+acosC=b$，
∴$\sqrt{3}$sinAsinC+sinAcosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴$\sqrt{3}$sinA=cosA，
sin²A+cos²A=sin²A+3sin²A=1，
∴sinA=$\frac{1}{2}$或sinA=-$\frac{1}{2}$（舍），∴sinA=$\frac{1}{2}$．
∴A=$\frac{π}{6}$或A=$\frac{5π}{6}$．
（2）∵b+2c=2，$sinA=\frac{1}{2}$，
∴a取最小值时，A=$\frac{π}{6}$，
∴a²=b²+c²-2cbcosA
=（2-2c）²+c²+2c（2-2c）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=（5+2$\sqrt{3}$）c²-（8+2$\sqrt{3}$）c+4，
∴当c=$\frac{8+2\sqrt{3}}{2（5+2\sqrt{3}）}$=$\frac{14-3\sqrt{3}}{13}$时，a²取最小值$\frac{16（5+2\sqrt{3}）-（8+2\sqrt{3}）^{2}}{4（5+2\sqrt{3}）}$=$\frac{5-2\sqrt{3}}{13}$．
∴a的最小值为a=$\sqrt{\frac{5-2\sqrt{3}}{13}}$=$\frac{\sqrt{65-26\sqrt{3}}}{13}$．

点评 本题考查角A的大小的求法，考查a的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理和余弦定理的合理运用．