Question

8．（1）设圆（x-3）²+（y+5）²=r²上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1，求r的取值范围．
（2）若曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$（-2≤x≤2）与 直线y=k（x-2）+4有两个交点时，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得|5-r|＜1，解此不等式求得半径r的取值范围．
（2）曲线方程表示的半圆图形；直线方程变形，判断出直线过定点；画出图形，数形结合求出满足题意的k的范围．

解答 解：（1）圆心P（3，-5）到直线4x-3y=2的距离等于 $\frac{|12-3•（-5）-2|}{\sqrt{16+9}}$=5，
由题意可得|5-r|＜1，解得4＜r＜6，
则r的取值范围为（4，6）；
（2）曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$（-2≤x≤2）即x²+（y-1）²=4（y≥1）
表示一个以（0，1）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：
直线y=k（x-2）+4表示恒过点P（2，4），斜率为k的直线．
结合图形可得
k_AP=$\frac{4-1}{2+2}$=$\frac{3}{4}$，
∵$\frac{|4-2k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，解得k=$\frac{5}{12}$，即切线的斜率为$\frac{5}{12}$，
∴要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是（$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]．

点评 解决直线与二次曲线的交点问题，常先化简曲线的方程，一定要注意做到同解变形，数形结合解决参数的范围问题．