题目内容

19．在平面直角坐标系中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，平面内三点A、B、C满足，$\overrightarrow{AB}$=4$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{AC}$=k$\overrightarrow{i}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{j}$当A、B、C三点构成直角三角形时，实数k的可能值的个数为（　　）
A．1B．2C．3D．4

分析 利用已知可得$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，利用向量垂直与数量积的关系即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=$（k，-\frac{1}{2}）$-（4，3）=$（k-4，-\frac{7}{2}）$，
当AB⊥BC时，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=4（k-4）-$\frac{7}{2}$×3=0，解得k=$\frac{53}{8}$．
当AB⊥AC时，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$4k-\frac{3}{2}$=0，解得k=$\frac{3}{8}$．
当AC⊥BC时，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=$k（k-4）-\frac{7}{2}×（-\frac{1}{2}）$=0，化为4k2-16k+7=0，解得k=$\frac{7}{2}$或$\frac{1}{2}$．
综上可得：当A、B、C三点构成直角三角形时，实数k的可能值的个数为4．
故选：D．

点评 本题考查了向量的坐标运算、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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