题目内容
13．已知袋内有标有1～6数字的小球6个，球除标号不同外完全相同，甲、乙两人玩“摸球赢枣”的游戏，由丙做裁判，游戏规定由丙从袋中有放回的摸三次球，记第1、2、3次摸到的球的标号分别为a，b，c，然后将所得的数代入函数f（x）=ax2+bx+c，若所得到的函数无零点，则甲输一个枣给乙，若所得到的函数有零点，则乙输四个枣给甲．（Ⅰ）记函数的零点的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据两人得枣的数学期望，该游戏公平吗？若不公平，谁吃亏？
分析 （I）利用判别式得出当△=0时，P（ξ=1）=$\frac{5}{216}$．当△≥0时，P（ξ=2）=$\frac{38}{216}$．P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=$\frac{173}{216}$．求解概率分布问题．
（II）利用分布列得出甲得枣的数学期望，乙得枣的数学期望，判断即可．
解答 （Ⅰ）解：ξ的可能取值为0，1，2．f（x）=ax2+bx+c的判别式△=b2-4ac，
当△=0时，b为偶数，b=2时，a=1，c=1；
b=4时，a=1，c=4或a=2，c=2或a=4，c=1；
b=6时，a=3，c=3，
∴P（ξ=1）=$\frac{5}{216}$．
有b≥3，b=3时，ac≤2，有3种；
b=4时，ac≤4，有9种；b=5时，ac≤6，
有14种；b=6时，ac≤9，有17种，共计43种．
∴ξ=1的情形有43-5=38种，
∴P（ξ=2）=$\frac{38}{216}$．
P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=$\frac{173}{216}$．
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{173}{216}$ | $\frac{5}{216}$ | $\frac{38}{216}$ |
（Ⅱ）甲得枣的数学期望是$4×\frac{43}{216}-1×\frac{173}{216}=-\frac{1}{216}$，
乙得枣的数学期望是$1×\frac{173}{216}-4×\frac{43}{216}=\frac{1}{216}$．
∴该游戏不公平，甲吃亏．
点评 本题考查古典概型概率的求法，古典概型在实际问题中应用，结合函数的性质判断概率的求解类别，方法，公平与否要看概率是否相等，属于中档题
练习册系列答案
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