题目内容
18．已知（x-$\sqrt{2}$）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，则（a0+a2+a4…+a2014）2-（a1+a3+a5…+a2015）2=1．
分析 分别在原二项式中取x=1，-1，得到a0+a1+a2+…+a2015=$（1-\sqrt{2}）^{2015}$，a0-a1+a2-…-a2015=$（-1-\sqrt{2}）^{2015}$，然后把要求解的式子展开平方差公式得答案．
解答 解：由（x-$\sqrt{2}$）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，
取x=1，得a0+a1+a2+…+a2015=$（1-\sqrt{2}）^{2015}$，
取x=-1，得a0-a1+a2-…-a2015=$（-1-\sqrt{2}）^{2015}$，
∴（a0+a2+a4…+a2014）2-（a1+a3+a5…+a2015）2
=（a0+a1+a2+…+a2015）（a0-a1+a2-…-a2015）=$（1-\sqrt{2}）^{2015}$×$（-1-\sqrt{2}）^{2015}$=1，
故答案为：1．
点评 本题考查二项式系数的性质，考查了特殊值法，训练了学生的灵活变形能力，是中档题．
练习册系列答案
相关题目