Question

2．定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实数t使得f（t+x）=-tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t的函数”．给出下列“关于t的函数”的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t的函数”；
②“关于$\frac{1}{2}$的函数”至少有一个零点；
③f（x）=x²是一个“关于t的函数”．
其中正确结论的序号是②．

Answer 1

分析 根据关于t的函数的定义，分别进行判断即可得到结论．

解答 解：①若f（x）=c≠0，取t=-1，则f（x-1）-f（x）=c-c=0，
即f（x）=c≠0是一个“t函数”；故f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t的函数”错误．
②若f（x）是“是关于$\frac{1}{2}$的函数”，则f（x+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（x）=0，取x=0，则f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（0）=0，
若f（0）、f （$\frac{1}{2}$）任意一个为0，则函数f（x）有零点；
若f（0）、f （$\frac{1}{2}$）均不为0，
则f（0）、f （$\frac{1}{2}$）异号，由零点存在性定理知，在（0，$\frac{1}{2}$）区间内存在零点；
故“关于$\frac{1}{2}$的函数”至少有一个零点，正确；
③若f（x）=x²是一个“关于t函数”，则（x+t）²=-tx²，求得t=0且t=-1，矛盾．故不正确，
故正确的结论是②，
故答案为：②

点评 本题主要考查与与函数有关的新定义题，考查了函数的性质，正确理解题意是解决本题的关键．