题目内容
【题目】已知椭圆E: +
=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2 , 且椭圆E过点(0,
),(
,﹣
),点A是椭圆上位于第一象限的一点,且△AF1F2的面积S△
=
.
(1)求点A的坐标;
(2)过点B(3,0)的直线l与椭圆E相交于点P、Q,直线AP、AQ分别与x轴相交于点M、N,点C( ,0),证明:|CM||CN|为定值,并求出该定值.
【答案】
(1)解:由于椭圆E过点(0, ),(
,﹣
),
∴ ,解得b=c=
,a2=6,
∴椭圆E的方程为: .
∵△AF1F2的面积S△AF1F2= .
∴ =
,
∴yA=1,代入椭圆方程可得: ,
∵xA>0,解得xA=2.
∴A(2,1).
(2)证明:设直线l的方程为:my=x﹣3,P(x1,y1),Q(x2,y2).
直线AP的方程为:y﹣1= (x﹣2),可得M
,即M
.
直线AQ的方程为:y﹣1= (x﹣2),可得N
,即N
.
联立 ,化为:(2+m2)y2+6my+3=0.
△>0,可得m2>1.
∴y1+y2= ,
.
∴|CM||CN|=
=
=
= =
=
,为定值.
【解析】(1)由于椭圆E过点(0, ),(
,﹣
),联立
,可得椭圆的方程.由于△AF1F2的面积S△AF1F2=
,利用
=
,可得yA=1,代入椭圆方程可得得xA . 即可得出A的坐标.(2)设直线l的方程为:my=x﹣3,P(x1 , y1),Q(x2 , y2).直线AP的方程为:y﹣1=
(x﹣2),M
.同理可得N
.联立
,化为:(2+m2)y2+6my+3=0.利用根与系数的关系可得y1+y2 , y1y2 . 即可证明|CM||CN|为定值.
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