题目内容
【题目】如图,在直角梯形中,
,
,
,直角梯形
通过直角梯形
以直线
为轴旋转得到,且使得平面
平面
.
为线段
的中点,
为线段
上的动点.
()求证:
.
()当点
满足
时,求证:直线
平面
.
()当点
是线段
中点时,求直线
和平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)直线和平面
所成角的正弦值为
.
【解析】试题分析:(1)建立空间坐标系求两直线的方向向量,根据点积为0可证的结论;(2)求得直线的方向向量和面的法向量,证得两向量垂直即可;(3)求直线的方向向量和面的法向量的夹角即可.
解析:
由已知可得, ,
,
两两垂直,以
为原点,
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图空间直角坐标系,
因为,
所以,
,
,
,
,
,
.
()证明:
,
,
,
∴,
,
∴,
,
即,
,
∴平面
.
又∵平面
,
∴.
()设
点坐标为
,则
,
.
∵,∴
,
,
,
解得: ,
,
,即
.
设平面的一个法向量
,
∵,
,
∴,即
,
令,则
,
,得
.
又,
∴.
∴直线平面
.
()当点
是线段
中点时,
,
设的一个法向量为
.
∵,
,
∴,解
,
令,则
,
,得
.
设与平面
所成角为
,则
.
故直线和平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】调查表明,市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性,现将这三项的满意度指标分别记为x、y、z,并对它们进行量化:0表示不满意,1表示基本满意,2表示满意,再用综合指标ω=x+y+z的值评定居民对城市的居住满意度等级:若ω≥4,则居住满意度为一级;若2≤ω≤3,则居住满意度为二级;若0≤ω≤1,则居住满意度为三级,为了解某城市居民对该城市的居住满意度,研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查,得到如下结果:
人员编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
(x,y,z) | (1,1,2) | (2,1,1) | (2,2,2) | (0,1,1) | (1,2,1) |
人员编号 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
(x,y,z) | (1,2,2) | (1,1,1) | (1,2,2) | (1,0,0) | (1,1,1) |
(1)在这10名被调查者中任取两人,求这两人的居住满意度指标z相同的概率;
(2)从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取一人,其综合指标为m,从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人,其综合指标为n,记随机变量ξ=m﹣n,求随机变量ξ的分布列及其数学期望.