题目内容

18.数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,且${S_{n-1}}={a_n}(n≥2,n∈{N^*})$.
(1)求a2,a3,a4
(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.

分析 (1)由已知条件分别取n=2,3,4,能依次求出a2,a3,a4的值.
(2)猜想${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2,n=1}\\{{2}^{n-1},n≥2}\end{array}\right.$,当n=1时,和n=2时,验证猜想成立,然后假设n=k时,猜想成立,由此推导出当n=k+1时,猜想成立,由此能证明${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2,n=1}\\{{2}^{n-1},n≥2}\end{array}\right.$.

解答 解:(1)∵数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且${S_{n-1}}={a_n}(n≥2,n∈{N^*})$.
∴a2=S1=a1=2,
a3=S2=2+2=4,
a4=S3=2+2+4=8.
(2)由a1=2,a2=2,a3=4,a4=8,猜想${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2,n=1}\\{{2}^{n-1},n≥2}\end{array}\right.$.
①当n=1时,a1=2;当n=2时,a2=2,成立.
②假设n=k时,成立,即${a}_{k}={2}^{k-1}$,k≥2,
则当n=k+1时,ak+1=Sk=2+2+4+8+…+2k-1=2+$\frac{2(1-{2}^{k-1})}{1-2}$=2k,成立,
由①②,得${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2,n=1}\\{{2}^{n-1},n≥2}\end{array}\right.$.

点评 本题考查数列的前四项的求法,考查数列的通项公式的猜想和证明,是中档题,解题时要认真审题,注意递推思想和数学归纳法的合理运用.

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