Question

1．在数列{a_n}，{b_n}中，{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）在函数y=x²+2x的图象上．{b_n}满足$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=2，b₁=2
（1）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）令C_n=a_n•b_n，求数列C_n的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得${S}_{n}={{n}^{2}+2n}_{\;}$，由此能求出a_n=2n+1，n∈N^*．由已知得{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出${b}_{n}={2}^{n}$．
（2）由C_n=a_n•b_n=（2n+1）•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{C_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）在函数y=x²+2x的图象上，
∴${S}_{n}={{n}^{2}+2n}_{\;}$，
a₁=S₁=1+2=3，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
当n=1时，2n+1=3=a₁，
∴a_n=2n+1，n∈N^*．
∵{b_n}满足$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=2，b₁=2，
∴{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴${b}_{n}={2}^{n}$．
（2）∵C_n=a_n•b_n=（2n+1）•2ⁿ，
∴数列{C_n}的前n项和：
T_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ，①
2T_n=3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：$-{T}_{n}=6+{2}^{3}+{2}^{4}+…+{2}^{n+1}$-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=2+2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n+1}）}{1-2}$-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=（1-2n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．