Question

2．已知椭圆$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\sqrt{5}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）的左、右焦点分别为F₁、F₂，一直线经过右焦点F₂，且与椭圆的长轴垂直，若该直线与该极坐标系中的曲线C：ρ=3交于A、B两点，则△F₁AB的面积为4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由椭圆$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\sqrt{5}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1，可得c，椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂．曲线C：ρ=3化为x²+y²=9．把x=2代入上述圆的方程解出y．利用△F₁AB的面积S=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||AB|$即可得出．

解答 解：由椭圆$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\sqrt{5}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1，可得c=$\sqrt{9-5}$=2，
∴椭圆的左、右焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0）．
曲线C：ρ=3化为x²+y²=9．
把x=2代入上述圆的方程可得：$y=±\sqrt{5}$．
|AB|=2$\sqrt{5}$．
∴△F₁AB的面积S=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||AB|$=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$．
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、椭圆与圆的极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．