Question

1．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B=$\frac{π}{3}$．
（1）若b=3，2sinA=sinC，求a，c；
（2）若sinAsinC=$\frac{1}{2}$，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求b的大小．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简得到2a=c，利用余弦定理列出关系式，把b，c=2a及cosB的值代入求出a的值，即可确定出c的值；
（2）根据正弦定理列出关系式，把已知等式及sinB的值代入表示出ac，再利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinB的值代入求出ac的值，即可确定出b的值．

解答 解：（1）把2sinA=sinC，利用正弦定理化简得：2a=c，
∵b=3，c=2a，cosB=$\frac{1}{2}$，
∴b²=a²+c²-2accosB，即9=a²+4a²-2a²，
解得：a=$\sqrt{3}$，
则c=2$\sqrt{3}$；
（2）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{ac}{sinAsinC}$=$\frac{{b}^{2}}{si{n}^{2}B}$，即$\frac{ac}{\frac{1}{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{3}$，
整理得：b²=$\frac{3}{2}$ac，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=2$\sqrt{3}$，
∴ac=8，
∴b²=$\frac{3}{2}$×8=12，
∴b=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．