如图.已知A.直线x=t与函数y=ex的图象交于点P.与x轴交于点H.记△APH的面积为f(t)．的解析式,的最大值．=$\left\{{\begin{array}{l}{f(t)•{e^{-t}}+\frac{1}{6}{t^3}-4}\end{array}}$探究:是否存在实数m.使得方程g(t)=m有且只有三个实数解.若存在求出m的取值范围.若不存在.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，已知A（10，0），直线x=t（0＜t＜10）与函数y=e^x的图象交于点P，与x轴交于点H，记△APH的面积为f（t）．
（1）求函数f（t）的解析式；
（2）求函数f（t）的最大值．
（3）若g（t）=$\left\{{\begin{array}{l}{f（t）•{e^{-t}}+\frac{1}{6}{t^3}-4（{t＞0}）}\\{bt（{t≤0}）}\end{array}}$
探究：是否存在实数m，使得方程g（t）=m有且只有三个实数解，若存在求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．

分析（1）由题意知AH=10-t，PH=e^t，从而可得f（t）=$\frac{1}{2}$（10-t）e^t，0＜t＜10；
（2）求导$f'（t）=-\frac{1}{2}{e^t}+\frac{1}{2}×（{10-t}）{e^t}=\frac{1}{2}{e^t}（{9-t}）$；从而由导数的正负确定函数的单调性及最值即可；
（3）化简g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（10-t）+\frac{1}{6}{t}^{3}-4，t＞0}\\{bt，t≤0}\end{array}\right.$；从而可得t＞0时g′（t）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t-1）（t+1）；从而判断函数的单调性及最值，再结合分段函数，从而确定使得方程g（t）=m有且只有三个实数解时m的取值范围．

解答解：（1）由已知，AH=10-t，PH=e^t，
所以f（t）=$\frac{1}{2}$（10-t）e^t，0＜t＜10；
（2）解：$f'（t）=-\frac{1}{2}{e^t}+\frac{1}{2}×（{10-t}）{e^t}=\frac{1}{2}{e^t}（{9-t}）$；
令f′（t）=0得t=9；
函数f（t）与f′（t）在定义域上的情况下表：

t	（0，9）	9	（9，10）
f′（t）	+	0	-
f（t）	↗	极大值	↘

所以当t=9时，函数f（t）取得最大值$\frac{1}{2}{e^9}$．
（3）g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（10-t）+\frac{1}{6}{t}^{3}-4，t＞0}\\{bt，t≤0}\end{array}\right.$；
当t＞0时，g′（t）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t-1）（t+1）；
令g′（t）=0得t=1，
故t∈（0，1），g′（t）＜0，g（t）为减函数；
t∈（1，+∞），g′（t）＞0，g（t）为增函数；
∴$g{（t）_{min}}=g（1）=\frac{2}{3}$；
当t≤0时，g（t）=bt，由数形结合知；
b≥0时，不存在m符合g（t）=m有且只有三个实数解，
b＜0时，存在m∈（$\frac{2}{3}$，1），g（t）=m有且只有三个实数解．
故m的取值范围为（$\frac{2}{3}$，1）．

点评本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．