题目内容
【题目】定义一个“希望结合”()简称
如下:
为一个非空集合,它满足条件“若
,则
”。试问:在集合
中,一共有多少个“希望子集合”?请说明理由。
【答案】
【解析】
下面用“”表示
与
的两倍关系.注意到
显然,是否在
中不影响
成为希望子集(因为这些数不能被
整除,且每个数的两倍均大于
),所以,这
个数的归属方案有
种.
在①中,与
不能同时取,故有
种方案.
同理,在②、③、④中,也各有种方案.
下面采用递推算法.
在⑤中,若取,则不能取
,此时,
可取亦可不取,有两种方案:若不取
,则由①知,关于
和
,共有
种方案(
和
的情况与①相同).因此,在⑤中共有
种方案.
同理,在⑥中共有种方案.
在⑦中,若取,则不能取
,由①知关于
和
,有
种方案;若不取
,则由⑤知,关于
有
种方案.因此,在⑦中共有
种方案.
在⑧中,若取,则不能取
,由⑤知关于
,有
种方案;若不取
,则由⑦知关于
,有
种方案.因此,在⑧中共有
种方案.
再考虑到除去空集(即
都不取),因此所求的
的希望子集的个数为
.
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