题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,证明: .
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)先代入,对求导数,再算出, ,进而可得曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)先构造函数,再利用导数可得的最小值,,进而可证当时, .
试题解析:(Ⅰ)解:当时, ,
所以.
所以, .
所以曲线在点处的切线方程为.
即.
(Ⅱ)证法一:当时, .
要证明,只需证明.
以下给出三种思路证明.
思路1:设,则.
设,则,
所以函数 在上单调递增
因为, ,
所以函数在上有唯一零点,且
因为时,所以,即
当时, ;当时,
所以当时, 取得最小值.
故.
综上可知,当时, .
思路2:先证明 .
设,则.
因为当时, ,当时, ,
所以当时,函数单调递减,当时,函数单调递增.
所以.
所以(当且仅当时取等号).
所以要证明,
只需证明.
下面证明.
设,则.
当时, ,当时, ,
所以当时,函数单调递减,当时,函数单调递增.
所以.
所以(当且仅当时取等号).
由于取等号的条件不同,
所以.
综上可知,当时, .
(若考生先放缩,或、同时放缩,请参考此思路给分!)
思路3:先证明.
因为曲线与曲线的图像关于直线对称,
设直线 与曲线, 分别交于点, ,点, 到直线
的距离分别为, ,
则.
其中, .
①设 ,则.
因为,所以.
所以在上单调递增,则.
所以.
②设 ,则.
因为当时, ;当时, ,
所以当时, 单调递减;当时, 单调递增.
所以.
所以.
所以.
综上可知,当时, .
证法二:因为,
要证明,只需证明.
以下给出两种思路证明.
思路1:设,则.
设,则.
所以函数 在上单调递增.
因为, ,
所以函数在上有唯一零点,且.
因为,所以,即.
当时, ;当时, .
所以当时, 取得最小值.
故.
综上可知,当时, .
思路2:先证明,且.
设,则.
因为当时, ;当时, ,
所以在上单调递减,在上单调递增.
所以当时, 取得最小值.
所以,即(当且仅当时取等号).
由,得(当且仅当时取等号).
所以(当且仅当时取等号).
再证明.
因为, ,且与不同时取等号,
所以 .
综上可知,当时, .
【题目】某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本,并称出它们的重量(单位:克),重量值落在内的产品为合格品,否则为不合格品.
注:表1是甲流水线样本的频数分布表,图1是乙流水线样本的频率分布直方图.
产品重量(克) | 频数 |
6 | |
8 | |
14 | |
8 | |
4 |
(1)根据上面表1中的数据在图2中作出甲流水线样本的频率分布直方图;
(2)若以频率作为概率,试估计从两条流水线上分别任取1件产品,该产品恰好是合格品的概率分别是多少;
(3)由以上统计数据完成下面列联表,并回答有多大的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.
甲流水线 | 乙流水线 | 合计 | |
合格 | |||
不合格 | |||
合计 |
参考公式:,其中
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响,某校高二数学研究性学习小组进行了调查,随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩,并制成下面的2×2列联表:
及格 | 不及格 | 合计 | |
很少使用手机 | 20 | 5 | 25 |
经常使用手机 | 10 | 15 | 25 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
则有( )的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响.
参考公式:,其中
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
A.97.5%B.99%C.99.5%D.99.9%