题目内容

【题目】已知函数.

(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;

(Ⅱ)当时,证明: .

【答案】(1)(2)见解析

【解析】试题分析:()先代入,对求导数,再算出,进而可得曲线在点处的切线方程;()先构造函数,再利用导数可得的最小值,,进而可证当时,

试题解析:()解:当时,

所以

所以.

所以曲线在点处的切线方程为

.

)证法一:当时, .

要证明,只需证明.

以下给出三种思路证明.

思路1:设,则.

,则

所以函数 上单调递增

因为

所以函数上有唯一零点,且

因为时,所以,即

时, ;当时,

所以当时, 取得最小值

综上可知,当时, .

思路2:先证明

,则

因为当时, ,当时,

所以当时,函数单调递减,当时,函数单调递增.

所以

所以(当且仅当时取等号).

所以要证明

只需证明

下面证明

,则

时, ,当时,

所以当时,函数单调递减,当时,函数单调递增.

所以

所以(当且仅当时取等号).

由于取等号的条件不同,

所以

综上可知,当时, .

(若考生先放缩,或同时放缩,请参考此思路给分!)

思路3:先证明.

因为曲线与曲线的图像关于直线对称,

设直线 与曲线分别交于点,点到直线

的距离分别为

其中

,则

因为,所以

所以上单调递增,则

所以

,则

因为当时, ;当时,

所以当时, 单调递减;当时, 单调递增.

所以

所以

所以

综上可知,当时, .

证法二:因为

要证明,只需证明.

以下给出两种思路证明.

思路1:设,则.

,则

所以函数 上单调递增.

因为

所以函数上有唯一零点,且.

因为,所以,即

时, ;当时, .

所以当时, 取得最小值

综上可知,当时,

思路2:先证明,且

,则

因为当时, ;当时,

所以上单调递减,在上单调递增.

所以当时, 取得最小值

所以,即(当且仅当时取等号).

,得(当且仅当时取等号).

所以(当且仅当时取等号).

再证明

因为,且不同时取等号,

所以

综上可知,当时,

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