题目内容
【题目】如图所示的几何体
中，底面
为菱形， 
， 
， 
与
相交于
点，四边形
为直角梯形， 
， 
， 
，平面
底面
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】试题分析：
(1)利用题意证得
平面
.由面面垂直的判断定理可得平面
平面
.
(2)结合(1)的结论和题意建立空间直角坐标系，由平面的法向量可得二面角
的余弦值为
.
试题解析：
（1）因为底面
为菱形，所以
，
又平面
底面
，平面
平面
，
因此
平面
，从而
.
又
，所以
平面
，
由
， 
， 
，
可知
， 
，
， 
，
从而
，故
.
又
，所以
平面
.
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）取
中点
，由题可知
，所以
平面
，又在菱形
中， 
，所以分别以
， 
， 
的方向为
， 
， 
轴正方向建立空间直角坐标系
（如图示），
则
， 
， 
， 
， 
，
所以
， 
， 
.
由（1）可知
平面
，所以平面
的法向量可取为
.
设平面
的法向量为
，
则
即
即
令
，得
，
所以
.
从而
.
故所求的二面角
的余弦值为
.
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