题目内容
【题目】过直线上的点
作椭圆
的切线
,切点分别为
,联结
.
(1)当点在直线
上运动时,证明:直线
恒过定点
;
(2)当时,定点
平分线段
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
设.则椭圆过点
的切线方程分别为
.因为两切线都过点
,所以,
.
这表明点均在直线
①
上.由两点决定一条直线知,式①就是直线的方程,其中
满足直线
的方程.
(1)当在直线
上运动时,可理解为
取遍一切实数,相应的
为
.代
入式①消去得
②
对一切恒成立.
变形可得对一切
恒成立.
则.由此得直线
恒过定点
.
(2)当时,由式②知
.解得
.
代入式②得的方程为
③
将此方程与椭圆方程联立,消去得
.
由此得截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点
的横坐标,即
.
代入式③可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标,即
.
这就是说,点平分线段
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知元集合
的一些子集满足:每个子集至少含2个元素,每两个不同子集的交集至多含2个元素,记这些子集的元素个数的立方和为
.问:是否存在不小于3的正整数
,使
的最大值等于2009的方幂?说明你的理由.
【题目】目前,新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐,为了解新冠肺炎传播途径,采取有效防控措施,某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息,数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图(用频率作为概率).潜伏期低于平均数的患者,称为“短潜伏者”,潜伏期不低于平均数的患者,称为“长潜伏者”.
(1)求这500名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数;
(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系,以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样,从上述500名患者中抽取300人,得到如下列联表,请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关;
短潜伏者 | 长潜伏者 | 合计 | |
60岁及以上 | 90 | ||
60岁以下 | 140 | ||
合计 | 300 |
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】某市环保部门为了让全市居民认识到冬天烧煤取暖对空气数值的影响,进而唤醒全市人民的环保节能意识.对该市取暖季烧煤天数
与空气
数值不合格的天数
进行统计分析,得出表数据:
| |||||
|
(1)以统计数据为依据,求出关于
的线性回归方程
;
(2)根据(1)求出的线性回归方程,预测该市烧煤取暖的天数为时空气
数值不合格的天数.
参考公式:,
.