题目内容
【题目】已知正三角形的边长为2,
是边
的中点,动点
满足
,且
,其中
,则
的最大值为( )
A.1B.C.2D.
【答案】D
【解析】
可建立如图所示的平面直角坐标系,根据题设条件可得动点在图中的圆上(实线部分)运动,设点
,则可用
的三角函数表示
,从而可求其最大值.也可以把
表示为
,故
(如图),利用向量共线的几何意义可得
的最大值就是
的最大值,利用三角形相似得当
与半圆相切时
最大.
如图所示,由于动点满足
,且
,
因为,所以点
在以点
为圆心,1为半径的半圆(图中实线)上运动,
,
,
,
,
,
,
,
所以,
,
因为,所以
,
.
所以,故选D.
方法二:等和线法
由于动点满足
,且
,其中
,
所以点在以点
为圆心,1为半径的半圆(图中实线)上运动且
.
设的中点为
,
与
交于点
,
,
所以,所以
,
过点分别作直线平行
交
于
,
则,当
与半圆相切时,
最大且为
.
故选D.
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