题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
为矩形,
是以
为直角的等腰直角三角形,平面
平面
.
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)为直线
的中点,且
,求二面角
的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;
(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)由为矩形,得
,再由面面垂直的性质可得
平面
,则
,结合
,由线面垂直的判定可得
平面
,进一步得到平面
平面
;
(Ⅱ)取中点O,分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,分别求出平面
与平面
的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角
的余弦值,再由平方关系求得二面角
的正弦值.
(Ⅰ)证明:为矩形,
,
平面
平面
,平面
平面
,
平面
,则
,
又,
,
平面
,而
平面
,
平面
平面
;
(Ⅱ)取中点O,分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,
由,
是以
为直角的等腰直角三角形,
得:,
.
设平面的一个法向量为
,
由,取
,得
;
设平面的一个法向量为
,
由,取
,得
.
.
∴二面角的正弦值为
.
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