Question

【题目】如图所示，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面，.

（1）求证：平面；

（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）通过证明．，转化证明平面，然后推出平面；

（2）建立空间直角坐标系，设，求出相关点的坐标，求出平面的一个法向量，令，由题意可得平面的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，即可求的取值范围．

（1）证明：设，

∵，，∴，

∴，

∴，则.

∵四边形为矩形，∴，

而平面，且，∴平面.

∵，∴平面.

（2）以为坐标原点，分别以直线，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

令，则，，，，

所以，，

设为平面的一个法向量，

由，得，

取，所以，

因为是平面的一个法向量.

所以.

因为，所以当时，有最小值，

当时，有最大值，所以.