Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．
（ I）证明：CD⊥平面PBD
（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC的中点E，连结DE，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O．连结OA，OB，OD，OE．证明PB⊥OE．推出OE∥CD，然后证明PB⊥CD，利用直线与平面垂直的判定定理证明即可．
（Ⅱ）取PD的中点F，连结OF，则OF∥PB．说明△POD为等腰三角形，得到AE∥平面PCD．O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：取BC的中点E，连结DE，
ABED为正方形．
过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O．连结OA，OB，OD，OE．PO⊥OE，
由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD，
所以OA=OB=OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD，从而PB⊥OE．
因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD．因此，PB⊥CD．CD⊥BD，PB∩BD=B，
∴CD⊥平面PBD．
（Ⅱ）解：取PD的中点F，连结OF，则OF∥PB．由（Ⅰ）知，PB⊥CD，故OF⊥CD．
又$OD=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$，$OP=\sqrt{P{D^2}-O{D^2}}=\sqrt{2}$，故△POD为等腰三角形，
因此，OF⊥PD．又PD∩CD=D，所以OF⊥平面PCD．
因为AE∥CD，CD?平面PCD，AE?平面PCD，所以AE∥平面PCD．
因此，O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而$OF=\frac{1}{2}PB=1$，
所以A至平面PCD的距离为1．

点评 本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．